Hai bình A và B chứa nước có khối lượng lần lượt là
\( \sym{m1}{m_1}\) và \( \sym{m2}{m_2}\) (với \( \sym{k}{m_2=k\,m_1}\)),
ở nhiệt độ ban đầu \( \sym{t1}{t_1}\) và \( \sym{t2}{t_2}\).
(1) Rót một nửa lượng nước trong A sang B. Khi cân bằng nhiệt, nhiệt độ trong B giảm \( \sym{dB}{\Delta T_B}\).
(2) Sau đó rót một nửa lượng nước đang có trong B về A. Khi cân bằng nhiệt, nhiệt độ trong A tăng \( \sym{dA}{\Delta T_A}\) so với ban đầu.
Bỏ qua trao đổi nhiệt với bình và môi trường.
Yêu cầu: (a) Tìm \( \sym{k}{k}\). (b) Nếu trộn tất cả nước của hai bình, nhiệt độ cân bằng là
\( \sym{Tmix}{T_{\text{mix}}}\). Tìm \( \sym{t1}{t_1}, \sym{t2}{t_2}\).
Thí nghiệm mô phỏng
Mô phỏng rót nước theo đúng 2 bước của đề. Mực nước tỉ lệ với khối lượng, nhiệt độ hiển thị ngay trên hình.
Khi thay đổi các giá trị ở thanh bên trái, hình vẽ và đồ thị cập nhật theo.
Đồ thị 1: nhiệt độ của A/B theo “bước”. Đồ thị 2: quan hệ \(k\) theo \( \Delta T_A\) (giữ \( \Delta T_B\) hiện tại).
Lời giải (công thức → thay số → kết quả)
a: ONb: ON
Phần a: Tìm \( \sym{k}{k}\)
(1)
\[
\sym{T}{T}=\frac{\sym{m1}{m_1}\sym{t1}{t_1}+\sym{m2}{m_2}\sym{t2}{t_2}}{\sym{m1}{m_1}+\sym{m2}{m_2}}
\quad \text{(trộn cùng chất, không thất thoát)}
\]
Nguồn công thức: nguyên lý cân bằng nhiệt & trung bình có trọng số từ Nhiệt học phổ thông.
(2)
Bước 1 (rót \(m_1/2\) từ A sang B):
\[
\sym{TB1}{T_{B1}}=\frac{\sym{k}{k}\sym{t2}{t_2}+\frac12\sym{t1}{t_1}}{\sym{k}{k}+\frac12}
=\sym{t2}{t_2}-\sym{dB}{\Delta T_B}.
\]
(3)
Từ (2) suy ra:
\[
\sym{t1}{t_1}=\sym{t2}{t_2}-\sym{dB}{\Delta T_B}(2\sym{k}{k}+1).
\]
(4)
Bước 2 (rót nửa lượng nước đang có trong B về A):
\[
\sym{TA2}{T_{A2}}=\sym{t1}{t_1}+\sym{dA}{\Delta T_A}
=\frac{\sym{t1}{t_1}+(\sym{k}{k}+\frac12)\sym{TB1}{T_{B1}}}{\sym{k}{k}+\frac32}.
\]
(5)
Thay (2), (3) vào (4) rút gọn được phương trình theo \( \sym{k}{k}\):
\[
2\sym{dB}{\Delta T_B}\,\sym{k}{k}^2+(\sym{dB}{\Delta T_B}-\sym{dA}{\Delta T_A})\sym{k}{k}-\frac32\sym{dA}{\Delta T_A}=0.
\]
Trộn toàn bộ hai bình:
\[
\sym{Tmix}{T_{\text{mix}}}=\frac{\sym{t1}{t_1}+\sym{k}{k}\sym{t2}{t_2}}{1+\sym{k}{k}}.
\]
(8)
Dùng (3) và (7):
\[
\sym{t2}{t_2}=\sym{Tmix}{T_{\text{mix}}}+\frac{\sym{dB}{\Delta T_B}(2\sym{k}{k}+1)}{1+\sym{k}{k}},
\qquad
\sym{t1}{t_1}=\sym{t2}{t_2}-\sym{dB}{\Delta T_B}(2\sym{k}{k}+1).
\]
Câu hỏi mở rộng và gợi ý
Nếu đổi “rót một nửa” thành “rót một phần x”, hãy lập công thức tổng quát cho \(k\).
Nếu có thất thoát nhiệt ra môi trường tỉ lệ theo chênh lệch nhiệt độ, kết quả sẽ lệch như thế nào?
Gợi ý: luôn bắt đầu bằng biểu thức trung bình có trọng số cho nhiệt độ sau trộn, rồi thay điều kiện “tăng/giảm”.
Ví dụ ứng dụng thực tế
Pha nước nóng – nước lạnh để đạt nhiệt độ mục tiêu (ví dụ 50°C) trong phòng thí nghiệm hoặc sinh hoạt.
Mô hình này dùng đúng nguyên lý: nhiệt độ sau trộn phụ thuộc tỉ lệ khối lượng và nhiệt độ ban đầu.
Feedback
Gửi câu hỏi/nhận xét về: sparc.hust@gmail.com
Nút “Gửi email” sẽ mở ứng dụng mail mặc định với nội dung đã điền.