Đề bài viết lại rõ ràng
Đặt cố định một vật sáng nhỏ AB vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ. Điểm A nằm trên trục chính. Thấu kính tạo ra ảnh thật A1B1 của vật. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính, d' là khoảng cách từ ảnh thật đến thấu kính và f là tiêu cự. Biết công thức thấu kính mỏng:
Cần khảo sát ba yêu cầu: chứng minh hệ thức (d − f)(d' − f) = f2, tìm vị trí thấu kính để khoảng cách từ vật đến ảnh thật là nhỏ nhất, và xác định hướng dịch chuyển của thấu kính khi s = 2s' xuất phát từ vị trí cực trị.
1/d + 1/d' = 1/f
Thí nghiệm trực quan
Vật AB cố định ở bên trái. Thấu kính hội tụ có thể trượt dọc theo trục chính. Ảnh thật A1B1 được cập nhật đúng theo công thức thấu kính mỏng. Khi đưa thấu kính về vị trí d = d' = 2f, khoảng cách từ vật tới ảnh là nhỏ nhất và bằng 4f.
Đồ thị mô phỏng
Đồ thị 1: kiểm tra hệ thức (d − f)(d' − f) = f².
Đồ thị 2: L = d + d' theo d, cho thấy giá trị nhỏ nhất tại d = 2f.
Đồ thị 3: quãng đường ảnh s' theo quãng đường thấu kính s khi xuất phát từ vị trí tối ưu.
Lời giải và công thức
Nguồn công thức: công thức thấu kính mỏng trong quang hình học sơ cấp, thường dùng trong chương trình Vật lí phổ thông.
Bắt đầu từ công thức thấu kính mỏng để biến đổi về dạng tích, vì dạng này giúp nhìn ra quan hệ đối xứng giữa vật và ảnh.
(1)
1/d + 1/d' = 1/f
Quy đồng hai vế và nhân chéo để loại mẫu.
(2)
f(d + d') = dd'
Chuyển vế để nhóm theo nhân tử chứa d và d'.
(3)
dd' − fd − fd' = 0
Cộng thêm f² vào hai vế để xuất hiện hằng đẳng thức dạng tích.
(4)
dd' − fd − fd' + f2 = f2
(5)
(d − f)(d' − f) = f2
Để tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa vật và ảnh, đặt L = d + d'. Từ (5), ta có thể dùng bất đẳng thức AM-GM cho hai số d − f và d' − f.
(6)
(d − f) + (d' − f) ≥ 2√[(d − f)(d' − f)]
(7)
L − 2f ≥ 2f ⇒ L ≥ 4f
(8)
Lmin = 4f,
khi d = d' = 2f
Từ vị trí tối ưu, xét thấu kính dịch chuyển về phía vật một đoạn s. Khi đó khoảng cách vật-thấu kính mới là 2f − s. Dùng công thức thấu kính để tính vị trí ảnh mới và suy ra quãng đường ảnh dịch chuyển s'.
(9)
s' = s2 / (f − s)
Thay điều kiện s = 2s' để tìm độ dịch chuyển cần thiết.
(10)
s = 2s2 / (f − s)
⇒ f − s = 2s
⇒ s = f/3
Kết luận. Để thỏa mãn điều kiện s = 2s', thấu kính phải dịch chuyển về phía vật một đoạn f/3. Khi đó ảnh dịch chuyển một đoạn f/6 theo chiều ngược lại.
Lưu ý. Nếu dịch thấu kính ra xa vật một đoạn s thì ảnh dời cùng chiều một đoạn s' = s²/(f + s); điều kiện s = 2s' cho thêm nghiệm s = f, s' = f/2. Khi giải cần đối chiếu đề gốc để chọn hướng dịch chuyển.
Câu hỏi mở rộng và gợi ý
1. Nếu thay thấu kính hội tụ bằng thấu kính phân kì thì đồ thị có còn xuất hiện giá trị cực tiểu tương tự không?
2. Khi vật không vuông góc với trục chính, ảnh có còn đồng dạng đơn giản với vật không?
3. Hãy thử giữ nguyên f và thay đổi chiều cao vật AB để quan sát mối liên hệ giữa độ phóng đại và tỉ số d'/d.
Gợi ý: kiểm tra đồng thời trên hình và trên đồ thị. Khi một đại lượng tăng, hãy theo dõi các ký hiệu cùng tên đang được tô sáng.
2. Khi vật không vuông góc với trục chính, ảnh có còn đồng dạng đơn giản với vật không?
3. Hãy thử giữ nguyên f và thay đổi chiều cao vật AB để quan sát mối liên hệ giữa độ phóng đại và tỉ số d'/d.
Gợi ý: kiểm tra đồng thời trên hình và trên đồ thị. Khi một đại lượng tăng, hãy theo dõi các ký hiệu cùng tên đang được tô sáng.
Ví dụ ứng dụng thực tế
Trong máy chiếu hoặc hệ camera đơn giản, việc đặt thấu kính gần vị trí d = d' = 2f giúp người thiết kế nhanh chóng ước lượng khoảng cách làm việc ngắn nhất giữa vật và màn. Từ đó có thể tối ưu kích thước thiết bị quang học, đặc biệt trong các hệ học tập thí nghiệm dùng trên bàn học hoặc trong hộp quang học nhỏ gọn.
Feedback
Câu hỏi hoặc nhận xét của bạn sẽ được gửi bằng email.
Gửi tới sparc.hust@gmail.com